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Análise de esquemas de aproximações angulares para a equação de transporte bidimensional em ordenadas discretas via formulações nodais

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Análise de esquemas de aproximações angulares para a equação de transporte bidimensional em ordenadas discretas via formulações nodais

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Título Análise de esquemas de aproximações angulares para a equação de transporte bidimensional em ordenadas discretas via formulações nodais
Autor Tres, Anderson
Orientador Barichello, Liliane Basso
Data 2015
Nível Doutorado
Instituição Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Matemática. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada.
Assunto Equações de transporte
Teoria de transporte
Resumo Neste trabalho é feito um estudo sobre a discretização angular da equa- ção bidimensional de transporte de nêutrons e os erros de truncamento associados, decorrentes da representação da variável angular contínua por um conjunto de direções discretas. Estes erros incluem a aproximação da integral do termo de espalhamento por um conjunto de quadratura numérica, técnica que caracteriza o chamado método de ordenadas discretas. Quatro esquemas de quadraturas numéricas disponíveis na literatura são empregados no estudo: Simétrica de nível (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), e Quadruple Range (QR), para a aproximação angular da equação de transporte. O uso do esquema de quadratura LQN, é limitado até ordem N = 20, enquanto que os demais permitem ordens de quadratura superiores. As variáveis espaciais da equação de transporte angularmente discretizada são tratadas através de técnicas nodais e resultados numéricos são obtidos a partir de dois métodos: o método nodal Arbitrarily High Order Transport (AHOT) e o método Analítico de Ordenadas Discretas (ADO). Além do fato do método ADO não utilizar algoritmos de varredura numérica ou métodos iterativos para resolu- ção das equações discretizadas resultantes, o mesmo determina soluções explícitas em termos das variáveis espaciais, via resolução de um problema de autovalores de ordem reduzida à metade do número de direções utilizadas na discretização angular. O estudo é focado em problemas de fonte xa, onde uma análise assint ótica espacial e angular é feita a m de determinar a ordem de convergência dos métodos e uma solução de referência para comparação dos resultados. Foi observado que para um determinado esquema de quadratura, a propriedade de integrar exatamente polinômios de alta ordem nos cossenos diretores não é su ciente para garantir uma maior precisão em termos de convergência espacial para a solução de referência. Ainda assim, os resultados numéricos mostram que o uxo escalar médio ao longo de toda a região de fonte do problema, converge assintoticamente com discretização espacial quase idêntica para todas as quadraturas angulares consideradas, mas o erro assintótico angular (calculado em relação ao valor de referência espacial para cada conjunto de quadratura utilizada), não diminui consideravelmente com o aumento do número de direções angulares. Por outro lado, a utilização do conjunto de quadratura QR, indicou redução da utuação dos valores dos uxos, os chamados efeitos raio, para ordens de aproximação angular mais baixas do que os outros três esquemas de quadratura considerados. No entanto, com base nos resultados numéricos obtidos até agora, não é possível determinar a taxa de convergência assintótica do erro devido à discretização angular. Além disso, foi possível incorporar quadraturas numéricas de ordem superior na formulação ADO, preservando propriedades importantes do método, tais como a redução da ordem do problema de autovalores, resultando uma maior e ciência computacional. As soluções ADO foram obtidas a partir da divisão do domínio em um número menor de regiões (até 2 × 2), mesmo assim apresentando boa precisão em comparação com a solução de referência espacial obtida através da extrapolação das soluções AHOT para sucessivos re namentos de malhas (até 64 × 64).
Abstract In this work, we study the angular discretization of two-dimensional neutron transport equation and the associated truncation errors, deriving from the representation of continuous angular variable by a set of discrete directions. These errors comprise the approximation of the integral of the scattering term by a set of numerical quadrature, a technique that characterizes the so-called method of discrete ordinates. Four numerical quadrature schemes available in the literature are employed in our study: Level symmetric (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), and Quadruple Range (QR), for the angular approximation of the transport equation. The use of the LQN quadrature scheme, is limited to order N = 20, while the others allow for arbitrarily high order quadratures. The spatial variables of the angularly discretized transport equation are handled through nodal techniques and numerical results are obtained with two methods: the Arbitrarily High Order Transport methods of the nodal type (AHOT) and the Analytical Discrete Ordinates method (ADO). In addition to the fact that ADO does not require a mesh sweep algorithm or iterative methods for solving the resulting discretized equations, the method presents explicit solutions in terms of spatial variables via eigenvalue problem resolution of reduced order to half the number of directions used in the angular discretization. The study is focused on xed-source problems, where a spatial and angular asymptotic analysis is done in order to determine the convergence order of the methods and a reference solution for comparison of the results. It was observed that, for a given quadrature scheme, the property of exactly integrating highest order direction cosines polynomials is not su cient to ensure higher accuracy in terms of spatial convergence to the reference solution. Still, numerical results show that the average scalar ux over the entire source region of the problem, converges asymptotically with the re nement of the spatial discretization almost identically for all angular quadratures considered, but the angular asymptotic error (computed against the reference value for each utilized quadrature set), does not decrease considerably with increasing number of angle directions. On the other hand, the use of QR quadrature set indicates larger reduction in the ux uctuations known as ray e ects for lower order angular approximation schemes than the other three sets considered. However, based on the numerical results we obtained so far, we are unable to determine the asymptotic convergence rate of the error due to angular discretization. Furthermore, it was possible to incorporate the numerical high order quadrature in the ADO formulation, preserving important properties of the method, such as reducing the order of the eigenvalue problem that results in a higher computational e ciency. The ADO solutions were obtained by dividing the domain in a fewer number of regions (up to 2 × 2), still exhibiting good accuracy compared with the spatial reference solution obtained via extrapolation of AHOT solutions obtained on successively re ned meshes (up to 64 × 64).
Tipo Tese
URI http://hdl.handle.net/10183/128044
Arquivos Descrição Formato
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