Essays in nonparametric econometrics and infinite dimensional mathematical statistics

Abstract

The present Thesis is composed of 4 research papers in two distinct areas. In Horta, Guerre, and Fernandes (2015), which constitutes Chapter 2 of this Thesis, we propose a smoothed estimator in the framework of the linear quantile regression model of Koenker and Bassett (1978). A uniform Bahadur-Kiefer representation is provided, with an asymptotic rate which dominates the standard quantile regression estimator. Next, we prove that the bias introduced by smoothing is negligible in the sense that the bias term is firstorder equivalent to the true parameter. A precise rate of convergence, which is controlled uniformly by choice of bandwidth, is provided. We then study second-order properties of the smoothed estimator, in terms of its asymptotic mean squared error, and show that it improves on the usual estimator when an optimal bandwidth is used. As corollaries to the above, one obtains that the proposed estimator is p n-consistent and asymptotically normal. Next, we provide a consistent estimator of the asymptotic covariance matrix which does not depend on ancillary estimation of nuisance parameters, and from which asymptotic confidence intervals are straightforwardly computable. The quality of the method is then illustrated through a simulation study. The research papers Horta and Ziegelmann (2015a;b;c) are all related in the sense that they stem from an initial impetus of generalizing the results in Bathia et al. (2010). In Horta and Ziegelmann (2015a), Chapter 3 of this Thesis, we address the question of existence of certain stochastic processes, which we call conjugate processes, driven by a second, measure-valued stochastic process. We investigate primitive conditions ensuring existence and, through the concepts of coherence and compatibility, obtain an affirmative answer to the former question. Relying on the notions of random measure (Kallenberg (1973)) and disintegration (Chang and Pollard (1997), Pollard (2002)), we provide a general approach for construction of conjugate processes. The theory allows for a rich set of examples, and includes a class of Regime Switching models. In Horta and Ziegelmann (2015b), Chapter 4 of the present Thesis, we introduce, in relation with the construction in Horta and Ziegelmann (2015a), the concept of a weakly conjugate process: a continuous time, real valued stochastic process driven by a sequence of random distribution functions, the connection between the two being given by a compatibility condition which says that distributional aspects of the former process are divisible into countably many cycles during which it has precisely the latter as marginal distributions. We then show that the methodology of Bathia et al. (2010) can be applied to study the dependence structure of weakly conjugate processes, and therewith provide p n-consistency results for the natural estimators appearing in the theory. Additionally, we illustrate the methodology through an implementation to financial data. Specifically, our method permits us to translate the dynamic character of the distribution of an asset returns process into the dynamics of a latent scalar process, which in turn allows us to generate forecasts of quantities associated to distributional aspects of the returns process. In Horta and Ziegelmann (2015c), Chapter 5 of this Thesis, we obtain p n-consistency results regarding estimation of the spectral representation of the zero-lag autocovariance operator of stationary Hilbertian time series, in a setting with imperfect measurements. This is a generalization of the method developed in Bathia et al. (2010). The generalization relies on the important property that centered random elements of strong second order in a separable Hilbert space lie almost surely in the closed linear span of the associated covariance operator. We provide a straightforward proof to this fact.

A presente Tese de Doutorado é composta de quatro artigos científicos em duas áreas distintas. Em Horta, Guerre e Fernandes (2015), o qual constitui o Capítulo 2 desta Tese, é proposto um estimador suavizado no contexto de modelos de regressão quantílica linear (Koenker e Basset, 1978). Uma representação de Bahadur-Kiefer uniforme é obtida, a qual apresenta uma ordem assintótica que domina aquela correspondente ao estimador clássico. Em seguida, prova-se que o viés associado à suavização é negligenciável, no sentido de que o termo de viés é equivalente, em primeira ordem, ao verdadeiro parâmetro. A taxa precisa de convergência é dada, a qual pode ser controlada uniformemente pela escolha do parâmetro de suavização. Em seguida, são estudadas propriedades de segunda ordem do estimador proposto, em termos do seu erro quadrático médio assintótico, e mostra-se que o estimador suavizado apresenta uma melhoria em relação ao usual. Como corolário, tem-se que o estimador é assintoticamente normal e consistente à ordem p n. Em seguida, é proposto um estimador consistente para a matriz de covariância assintótica, o qual não depende de estimação de parâmetros auxiliares e a partir do qual pode-se obter diretamente intervalos de confiança assintóticos. A qualidade do método proposto é por fim ilustrada em um estudo de simulação. Os artigos Horta e Ziegelmann (2015a, 2015b, 2015c) se originam de um ímpeto inicial destinado a generalizar os resultados de Bathia et al. (2010). Em Horta e Ziegelmann (2015a), Capítulo 3 da presente Tese, é investigada a questão de existência de certos processos estocásticos, ditos processos conjugados, os quais são conduzidos por um segundo processo cujo espaço de estados tem como elementos medidas de probabilidade. Através dos conceitos de coerência e compatibilidade, obtémse uma resposta afirmativa à questão anterior. Baseado nas noções de medida aleatória (Kallenberg, 1973) e desintegração (Chang e Pollard, 1997; Pollard, 2002), é proposto um método geral para construção de processos conjugados. A teoria permite um rico conjunto de exemplos, e inclui uma classe de modelos de mudança de regime. Em Horta e Ziegelmann (2015b), Capítulo 4 desta Tese, é proposto – em relação com a construção obtida em Horta e Ziegelmann (2015a) – o conceito de processo fracamente conjugado: um processo estocástico real a tempo contínuo, conduzido por uma sequência de funções de distribuição aleatórias, ambos conectados por uma condição de compatibilidade a qual impõe que aspectos da distribuição do primeiro processo são divisíveis em uma quantidade enumerável de ciclos, dentro dos quais este tem como marginais, precisamente, o segundo processo. Em seguida, mostra-se que a metodologia de Bathia et al. (2010) pode ser aplicada para se estudar a estrutura de dependência de processos fracamente conjugados, e com isso obtém-se resultados de consistência à ordem p n para os estimadores que surgem naturalmente na teoria. Adicionalmente, a metodologia é ilustrada através de uma implementação a dados financeiros. Especificamente, o método proposto permite que características da dinâmica das distribuições de processos de retornos sejam traduzidas em termos de um processo escalar latente, a partir do qual podem ser obtidas previsões de quantidades associadas a essas distribuições. Em Horta e Ziegelmann (2015c), Capítulo 5 da presente Tese, são obtidos resultados de consistência à ordem p n em relação à estimação de representações espectrais de operadores de autocovariância de séries de tempo Hilbertianas estacionárias, em um contexto de medições imperfeitas. Os resultados são uma generalização do método desenvolvido em Bathia et al. (2010), e baseiam-se no importante fato de que elementos aleatórios em um espaço de Hilbert separável são quase certamente ortogonais ao núcleo de seu respectivo operador de covariância. É dada uma prova direta deste fato.