Estrutura de diagramas de fase de sistemas dinâmicos de tempo contínuo

Abstract

Este trabalho trata da investigação do espaço de parâmetros de sistemas dinâmicos não-lineares de tempo contínuo. A análise é focada essencialmente em regiões de alta complexidade dinâmica; contendo as fases caóticas e regiões de peíodos altos. O objetivo não é uma análise completa da estrutura de bifurcações existentes, mas sim a investigação da estrutura e organização das regiões periódicas que existem encaixadas em meio às fases caóticas. Investigamos aqui alguns modelos físicos dissipativos, descritos por equações diferenciais ordinárias não-lineares de baixa ordem, como um laser de CO2 com perdas moduladas, um laser de semicondutor com injeção óptica, um circuíto eletrônico e o oscilador de Duffing. Investigamos a estrutura fina das regiões caóticas e reportamos algumas regularidades previamente não conhecidas no espaço de parâmetros de sistemas dinâmicos de tempo contínu. Em particular, mostramos a existência de vários tipos de estrutuaas e auto-similares, acumulações de estruturas auto-similares com adição de período; hierarquia de espirais em um sistema com simetria e recorrências nas fases caóticas no espaço de dois parâmetros de equações diferênciais não-lineares. Algumas destas regularidades poderiam ser verificadas experimentalmente para os sistemas investigados. A análise é baseada na computação de diagmmas de fase obtidos pela integração direta dos sisternas de equações diferenciais ordinárias não-lineares e estimativa numérica dos expoentes de Lyapunov. Os expoentes de Lyapunov selo codificados em urna conveniente metodologia que desenvolvemos. A metodologia que utilizamos aqui poderia ser uma alternativa aos métodos de continuação numérica largamente utilizados no estudo do espaço de parâmetros de equações diferenciais.

This work deals with the investigation of the paraneter space of continuous-time nonlinear dynamical systems. The analysis is focused mainly in regions of high dynamical complexity, containing the chaotic phases and regions of high periods. The goal is not a complete analysis of the bifurcation struture, but the investigation of the structure and organization of periodic regions that exist ernbedded in the chaotic phases. We investigate here some dissipative physical models, described by low-order nonlinear differential equations, such as a CO2 laser with modulated losses, a semiconductor laser with optical injection, an electmnic Circuit and the Duffing oscillator. We investigate the fine structure of the chaotic regions and we report some regularities previously unknown in the pamrneter space of continuous-time dynamical systems. In particular, we show the existence of several kinds of self-smilar structures, accumuations of self-similar stuctures with period adding, hierarchy af spirals in a system with symetry and recurrences in the chaotic phases in the two-parameter space of nonlinear differential equations. Some of these regularities could be verified experimentally for the investigated systems. The analysis is based on the computation of phase diagrams obtained by direct time integration of systems of nonlinear ordinary differential equations and numerical estimation of the Lyapunov exponents. The Lyapunov exponents are encoded in a convenient methodology that we developed. The methodology used here could be an altemative to the numerical continuation methods widely used in the study of the parameter space of nonlinear differential equations.