Transições de fases em sistemas magnéticos com frustração e desordem em grafos aleatórios

Abstract

Nesta tese, estudamos sistemas magnéticos com frustração e desordem em redes com conectividade finita. Especificamente, nos concentramos em grafos aleatórios, onde a existência de uma conexão entre dois sítios da rede é dada a partir de uma distribuição de probabilidade. No limite termodinâmico, a distribuição do número de vizinhos de um sítio é dada por uma distribuição de Poisson. O desenvolvimento de ferramentas teóricas para o estudo de sistemas desordenados teve origem no estudo do problema de Vidros de Spin. Uma das ferramentas que utilizamos é o método de réplicas para sistemas com conectividade finita. O objetivo principal desse trabalho é analisar como a conectividade finita afeta os observáveis e o comportamento global do sistema. Para isso traçamos diagramas de fase para diferentes valores de conectividade média. Três modelos foram estudados. Primeiramente, estudamos o modelo de van Hemmen, conhecido por ser um modelo de Vidros de Spin que tem solução sem uso de réplicas. Modificamos esse modelo estudando o caso com spins de três estados, com ocupação controlada por um campo cristalino. Além disso adicionamos desordem através de uma campo aleatório acoplado a cada spin. O método réplicas foi utilizado para tratar a desordem das realizações do grafo. O segundo modelo estudado foi um modelo de Ising para Vidro de Spin com campo aleatório, onde utilizamos o método de duas réplicas para determinar a localização de quebra de ergodicidade não-trivial. Por último, estudamos o papel da frustração no estabelecimento de uma fase de Vidro de Spin através de um modelo de aglomerados de spins, com interações internas antiferromagnéticas uniformes. Dois tipos de geometria de aglomerado foram comparadas. Um triângulo equilátero, que por construção possui frustração geométrica, e um tetraedro regular que não possui frustração geométrica. Desenvolvemos uma metodologia para estudar as interações entre aglomerados em redes com conectividade finita. Nossa técnica pode ser estendida para lidar com diversas geometrias de aglomerados.

In this thesis, we study magnetic systems with frustration and disorder in finite connectivity lattices. Specifically, we focus on random graphs, where the existence of a connection between two sites in the lattice is given by a probability distribution. In the thermodynamic limit, the distribution of the number of neighbors of a site is given by a Poisson distribution. The development of theoretical tools for the study of disordered systems started with the study of the Spin Glasses problem. One of that tools we use is the replica method for systems with finite connectivity. The main objective of this work is to analyze how finite connectivity affects the observables and the global behavior of the system. For this we draw phase diagrams for different values of average connectivity. Three models were studied. Firstly, we studied the van Hemmen model, known for being a Spin Glasses model that has a solution without the use of replicas. We modified this model by studying the case with three-state spins, with occupation controlled by a crystalline field. We also add disorder through a random field coupled to each spin. The replica method was used to deal with the disorder of the graph realizations. The second model studied was an Ising model for Spin Glass with random field, where we used the two-replica method to determine the location of non-trivial ergodicity breaking. Finally, we study the role of frustration in establishing a Spin Glass phase through a spin cluster model, with uniform antiferromagnetic internal interactions. Two types of cluster geometry were compared. An equilateral triangle, which by construction has geometrical frustration, and a regular tetrahedron which has no geometrical frustration. We developed a methodology to study the interactions between clusters in networks with finite connectivity. Our technique can be extended to handle various cluster geometries.