Uma ferramenta para determinação de zeros polinomiais

Abstract

Este trabalho define um ambiente que auxilia o usuário a determinar as raízes complexas de um polinômio, dados apenas seus coeficientes complexos. Para tanto é definida uma interface que habilita a comunicação e a apresentação de resultados de forma mais expressiva do que as habitualmente usadas, permitindo que o usuário perceba mais rapidamente as informações que a ferramenta lhe apresenta. Para capacitar o usuário a determinar as soluções o sistema faz uso de uma abordagem baseada em imagens, obtidas a partir da interpretação do polinômio sendo estudado como se fosse uma superfície originada por uma função de dual variáveis. Através do uso de imagens o usuário pode orientar o sistema para determinar as soluções de seu interesse particular, e pode adicionalmente perceber de forma muito clara detalhes do polinômio que não são apresentados por outras ferramentas. São definidas operações que facilitam a manipulação das imagens obtidas, podendo-se efetuar uma serie de computações que eventualmente dispensam os métodos de determinação numérica de raízes, obtendo-se de uma forma alternativa possíveis aproximações para as soluções. Esta abordagem apoiada em imagens é muito útil na determinação de raízes em regiões onde a avaliação do polinômio se mostra instável ou sujeita a erros grosseiros, como por exemplo raízes múltiplas. Quando são geradas imagens pode ser percebida claramente a presença de erros de avaliação, permitindo que o usuário tome a atitude que julgar adequada. Outros sistemas não permitem que tais instabilidades sejam notadas, fornecendo respostas que podem lido ter qualquer nexo com a realidade. Para uso na ferramenta que implementa a solução proposta, existe uma serie de comandos definidos que capacitam o usuário a fazer quaisquer operações de seu interesse. Estes comandos foram já testados no período da implementação do sistema e permitem que sejam feitas operações sobre o polinômio, as imagens geradas e as raízes determinadas. Em todo o projeto do sistema existe a preocupação de tornar claro o que está acontecendo a cada momento com o polinômio ou com os dados dele obtidos, para que o usuário não se canse em demasia, seja interpretando dados do sistema ou procurando decidir o que fazer em seguida. Assim, o use da ferramenta d bastante natural, e tenta atingir a intuição daqueles que a irão usar. Exemplos são apresentados, bem como descrições dos comandos utilizados na interface. De especial interesse são os algoritmos usados na construção das imagens, pois estes permitem uma grande economia nas avaliações do polinômio quando da geração das cenas, reduzindo sobremaneira o tempo de espera do usuário. Quanto as imagens, são fornecidos três tipos de representações: imagens coloridas em duas dimensões, curvas de nível e curvas de sinal. O uso de três dimensões nas imagens foi descartado, e as razões para tanto estão descritas no texto. Todos os tipos de imagens permitem que se determine e identifique com facilidade as soluções desejadas, e são construídas a partir de uma transformação sobre o polinômio original. Esta transformação é explicada em detalhe no transcorrer do texto.

This work describes an environment that helps the user to find the complex solutions of a polynomial, given its coefficients. To do so, a quite expressive user interface is defined providing easy communication between man and machine and also allowing users to perceive much more rapidly the informations given by the tool. The system uses an image-based interface, obtained from a two-variable surface defined by the polynomial. By using these pictures, it is possible to direct the tool, finding any solutions of special meaning to the user. In addition, some details and features of the polynomial can be very easily seen. To manipulate images a set of operations was defined, and this set has so many features that the use of some operations can even avoid the effort of numerically computing the zeros of the polynomial, also reducing the numerical error embedded in these computations. This image-based approach is very useful when finding domains where the evaluation of the polynomial is unstable or prone to errors, e. g., near multiple roots. In pictures, any evaluation problems are easily detected, and the user can decide how to take the answers given by the system. Other tools usually do not provide any means to detect such behavioral oscillations, and can give nonsense answers. There is a set of commands embedded on the tool that implements the proposed solution, and they allow the user to perform any operations of his (her) interest. Such commands were tested at implementation time, and all were useful at some moment. They perform operations on the polynomial, on the pictures and on the detected zeros. All over the design phase there was the care of making clear what is happening to the polynomial or any data, so that the user can always work without being stressed by trying to find out what is happening. So, we try to build a natural approach to this interfacing problem, trying to reach user's intuition. Examples and descriptions of the commands are given, and also there is a description of a quite important algorithm, the one that builds the pictures themselves. This algorithm needs quite few evaluations of the function to generate pictures, thus reducing the waiting times. For the images, there are three presentation types: color images in two dimensions, height curves or signal curves. Three-dimensional pictures were discarded, and the reasons to such decision are described on the text. All kinds of images provide easy and simple identification of solutions. The images are produced from a simple transformation of the starting polynomial. This transformation is also explained in detail.