Estimativas para soluções fracas limitadas de uma classe geral de equações parabólicas degeneradas não conservativas

Abstract

Neste trabalho, investigamos diversas propriedades das soluções u(•, t) limitadas do problema de valor inicial  α λ 2 n u = |u|     △u + b(x, t)|u| |∇u| , x ∈ R , t > 0,  u(., 0) = u0 ∈ Lp0 (Rn) ∩ L∞ (Rn ), 0 < p < ∞ onde α ≥ 1 e λ ≥ α − 1 são constantes dadas, b ∈ L∞ (Rn × [0, ∞)), com ênfase em resultados sobre a norma do sup ∥u(•, t)∥L∞ (Rn ) destas soluções. A análise utiliza uma combinação de estimativas de energia e principios de comparação apropriados para o problema.

In this work we will investigate several important properties of bounded weak solutions u(•, t) of the initial-value problem  α λ 2 n u = |u|     △u + b(x, t)|u| |∇u| , x ∈ R , t > 0,  u(., 0) = u0 ∈ Lp0 (Rn) ∩ L∞ (Rn ), 0 < p < ∞ where α ≥ 1, λ ≥ α − 1 are given constants and b ∈ L∞ (Rn × [0, ∞)). Our emphasis is to obtain supnorm estimates ∥u(•, t)∥L∞ (Rn ) for these solutions. Our analysis is based on e suitable combination of generalized energy estimates and comparison principles specific for this problem.