Campos de Killing, curvatura média e translações

Abstract

D. Hoffman, R. Osserman e R. Schoen mostraram que se a aplicação de Gauss de uma superfície orientada completa de curvatura média constante M imersa em R³ está contida em um hemisfério fechado de S² (equivalentemente, a função <n, V> não muda de sinal em M, onde n é um vetor unitário normal de M e v algum vetor não nulo de R³), então M é invariante por um subgrupo a um parâmetro de translações de R³ (aquele determinado por v). Neste trabalho obtemos uma extensão deste resultado para o caso em que o espaço ambiente é uma variedade riemanniana e M uma hipersuperfície em N requerendo que a função <n, V> não mude de sinal em M, onde V é um campo de Killing em N. Na parte final deste trabalho consideramos uma variedade riemanniana Killing paralelizável N para definir uma translação Y: M -> Rn de uma hipersuperfície M de N que é uma extensão natural da aplicação de Gauss de uma hipersuperfície de Rn. Considerando as mesmas hipóteses para a imagem de y obtemos uma extensão do resultado original de Hoffman-Osserman-Schoen.

D. Hoffman, R. Osserman and R. Schoen proved that if the Gauss map of a complete constant mean curvature oriented surface M immersed in R³ is contained in a closed hemisphere of S² (equivalently, the function <n, V> does not change sign on M where n is a unit normal vector of M and v some non zero vector of R³), then M is invariant by a one parameter subgroup of translations of R³ (the one determined by v). In this work we obtain an extension of this result to the case that the ambient space is a Riemannian manifold and M a hypersurface on N by requiring that the function <n, V> does not change sign on M, where V is a Killing field on N. In the last part of this work we consider a Killing paralelizable Riemannian manifold N to define a translation map y : M -> Rn of a hypersurface M of N which is a natural extension of the Gauss map of a hypersurface in Rn. Considering the same hypothesis on the image of y we obtain, an extension to this setting, of the original Hoffman-Osserman-Schoen result.