Soluções exatas para a equação de Helmholtz bidimensional em regime transiente

Abstract

Este trabalho apresenta novas soluções exatas para a equação de Helmholtz bidimensional transiente, as quais são obtidas através de Split, simetrias de Lie e transformações de Bäcklund. O objetivo do trabalho proposto é obter um procedimento sistemático que permita gerar soluções que descrevam escoamentos tridimensionais, usando grupos de Lie já disponíveis na literatura especializada para o sistema contendo as equações de Navier-Stokes tridimensionais e a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis em geometria cartesiana. A principal dificuldade em obter soluções tridimensionais usando grupos de Lie reside na necessidade de se conhecer previamente ao menos uma solução bidimensional transiente que satisfaça as condições de não-deslizamento e não-penetração na interface sólida, bem como a prescrição de escoamento potencial distante do corpo submerso. As soluções para as equações de Navier-Stokes bidimensionais são obtidas resolvendo a equação de Helmholtz para a função corrente. Algumas das soluções foram empregadas para simular escoamentos viscosos em torno de cilindros, reproduzindo características qualitativas do escoamento transversal, e gerando resultados com razoável concordância em relação aos dados experimentais.

This work presents new exact solutions to the unsteady two-dimensional Helmholtz equation, which were obtained by split, Lie Symmetries and Bäcklund transformations. The aim of the proposed work is to obtain a systematic procedure that allows to generate exact solutions which describe three-dimensional flows, using a Lie symmetry group yet available in specialized literature for the system containing the three-dimensional Navier-Stokes equations and the continuity equation for incompressible flows in cartesian geometry. The major difficult in obtaining the three-dimensional solutions using the Lie group relies on the need of knowing beforehand at least one two-dimensional unsteady solution which satisfies the no slip and no penetration conditions at the solid interface, as well as the prescriptions of potential flows far from the immersed body. The two-dimensional solutions for the Navier-Stokes equations are obtained by solving the Helmholtz equation for the stream function . Some of the solutio ns were employed to simulate viscous flows around cylinders, reproducing qualitative features of the crossflow, and generating results which are in reasonable agreement with experimental data.