Sobre soluções de derivações em k- álgebras Noetherianas e simplicidade

Abstract

Estudamos nesta tese, de modo geral, o conceito de simplicidade de derivações em k-álgebras de tipo finito, onde k é algebricamente fechado. A princípio iremos introduzir uma noção de solução associada a uma derivação em k-álgebras abstratas, consequentemente, generalizamos o critério para a simplicidade de Brumatti- Lequain-Levcovitz junto com uma caracterização geométrica e obtemos aplicações. Fixada D uma derivação simples de k[x,y], vamos estudar o subgrupo dos k- automorismos de k[x,y] que comutam com esta derivação. Mostramos, por exemplo, que sendo D uma derivação simples de Shamsuddin este subgrupoé trivial. No caso geral de uma derivação simples qualquer, obtemos propriedades para os elementos deste subgrupo. Por último, tratamos de bases comutativas de derivações e simplicidade em k[x1, . . ., xn] e k[[x1, . . ., xn]]; mais explicitamente, generalizamos um resultado de Retert que relaciona a noção de simplicidade com derivações que comutam; em consequência, obtemos corolários baseados em um trabalho de Nowicki.

In this work we study the concept of simplicity of derivations in k-algebras of nite type, where k is an algebraically closed eld. Initially, we introduce a notion of solution associated with a derivation in abstract k-algebras, hence generalizing a simplicity criterion due to Brumatti-Lequain-Levcovitz. We also give a geometric characterization of that criterion and obtain applications. Next, we study the subgroup of k-automorphisms of k[x, y] which commute with a simple derivation D of k[x, y]: We prove, for example, that this subgroup is trivial when D is a Shamsuddin simple derivation. In the general case of simple derivations, we obtain properties for the elements of this subgroup. Finally, we address the simplicity and commutative bases of derivations in polynomial and power series rings. More precisely, we generalize the result of Retert that creates a relationship between simplicity and commuting derivations, and, as applications, we obtain corollaries to a work of Nowicki.