Contribuições para a teoria de equações do p-Laplaciano evolutivo com termos advectivos

Abstract

Neste trabalho, investigamos diversas propriedades de soluções limitadas de equações de difusão não linear com termos advectivos na forma conservativa, onde o mecanismo de difusão é dado pelo p - Laplaciano. Dois problemas principais são considerados: no primeiro, o termo advectivo tem natureza dissipativa e como consequência as soluções são globalmente definidas e decaem a zero (em várias normas) ao t ! 1. As taxas de decaimento obtidas neste caso, pela análise apresentada (uma variação do clássico método Lp ð€€€ Lq) são optimais. No segundo problema, considera-se o caso em que o termo advectivo estimula o crescimento da solução em certas regiões (ou mesmo no espaço todo), de modo a competir com a tendência de decaimento devido ao termo difusivo. O resultado desta interação é difícil de ser previsto fisicamente, e requer uma análise matemática cuidadosa para a precisão dos resultados. Em particular, que sob certas condições, a solução existe globalmente (embora possa ocorrer blow-up no infinito). A análise é centrada na obtenção de estimativas para a norma do sup, que (como mostramos) é determinada por normas mais baixas.

In this work, we investigate several important properties of bounded solutions of nonlinear di usion equation (where the di usion mechanism is modeled by the p-Laplacian operator) in conservative form with the presence of rst-order advective terms. Two major problems are considered: in the rst, the advective term has a dissipative nature, which renders the solutions globally de ned and decaying to zero (in several norms) as t ! 1: The decay rates obtained in this case by our analysis (based on a variation of the Lp ð€€€ Lq approach) are optimal. In our second problem, we examine the case in which the advection term makes the solution grow in certain regions (or even everywhere), so as to oppose itself to the decaying tendency due to the di usion term alone. The outcome of this interaction is hard to predict on physical grounds and requires a very careful mathematical analysis to be correctly assessed. In particular, we show that under certain important conditions the solution remains globally de ned (even though blow-up at in nity may still happen). Our analysis is centered on deriving supnorm estimates for the solution by looking at the behavior of suitable lower norms.