Uma versão espacial do modelo de crescimento econômico AK

Abstract

Neste trabalho propomos uma generalização espacial do modelo de crescimento econômico AK em uma dimensão espacial, o qual é descrito matematicamente por uma equação diferencial parcial parabólica linear para o capital per capita da economia, com as correspondentes condições iniciais e de contorno. Obtemos soluções em série de Fourier para o modelo considerando condições de contorno de Dirichlet homogêneas, de Neumann homogêneas e mistas homogêneas, e apresentamos exemplos numéricos do modelo. Mostramos que o modelo com condições de Neumann homogêneas constitui generalização espacial natural do modelo AK não-espacial. Além disso, encontramos valores críticos mínimos para a taxa de poupança da economia, de forma a garantir o crescimento persistente do capital per capita no longo prazo, com as condições de Neumann homogêneas apresentando o menor valor, independente do tamanho geográfico da economia, seguido das condições do tipo mistas e Dirichlet homogêneas, com o valor mínimo dependendo inversamente do tamanho geográfico da economia nestes dois últimos casos. Por fim, o modelo AK espacial aqui proposto constitui exemplo interessante de aplicação de equações diferenciais parciais na área de Economia.

n this work, we propose a unidimensional spatial generalization of the AK model of economicgrowth, which is mathematically described by a parabolic linear partial differential equation for theper capitacapital of the economy, with corresponding initial and boundary conditions. We obtain Fourier series solutionsfor the model, considering homogeneous Dirichlet, homogeneous Neumann, and homogenous mixed boun-dary conditions, and present numerical examples of the model. We show that the model with homogeneousNeumann boundary conditions is a natural spatial generalization for the non-spatial AK model. Besides, we find minimum critical values for the saving rate of the economy that guarantee persistent growth of thepercapitacapital in the long run, with homogeneous Neumann conditions presenting the lowest value, regardlessof the geographical size of the economy, followed by mixed and homogeneous Dirichlet-type conditions, withthe minimum value inversely depending on the geographic size of the economy in these last two cases. Finally,the spatial AK model proposed here is an interesting example of application of partial differential equation inthe field of Economics.

En este trabajo proponemos una generalización espacial del modelo de crecimiento económicoAK en una dimensión espacial, que se describe matemáticamente mediante una ecuación diferencial parcial parabólica lineal para el capital per capita de la economía, con las correspondientes condiciones iniciales y decontorno. Obtenemos soluciones en series de Fourier para el modelo considerando condiciones de frontera de Dirichlet homogéneas, de Neumann homogéneas y mixtas homogéneas, y presentamos ejemplos numéricos del modelo. Mostramos que el modelo con condiciones de Neumann homogéneas constituye una generalización espacial natural del modelo AK no espacial. Además, encontramos valores críticos mínimos para latasa de ahorro de la economía, a fin de garantizar el crecimiento persistente del capitalper capitaa largo plazo,siendo las condiciones de Neumann homogéneas las que presentan el valor más bajo, independientementedel tamaño geográfico de la economía, seguido de condiciones mixtas y de Dirichlet homogéneas, siendo el valor mínimo inversamente dependiente del tamaño geográfico de la economía en estos dos últimos casos. Finalmente, el modelo espacial AK propuesto aqui és un ejemplo interesante de la aplicación de ecuaciones diferenciales parciales en Economía.