Uma representação construtiva global para sistemas ordenados de segunda ordem em espaços coerentes intervalares bi-estruturados, com aplicação em matemática intervalar

Abstract

Este trabalho consiste no desenvolvimento de uma metodologia para a obtenção de representações construtivas de sistemas ordenados de 2ª ordem, baseadas em estruturas de espaços coerentes, com aplicação fundamental na Computação Científica e Matemática Intervalar. Obtêm assim uma representação global para os objetos ditos infinitos relativamente ao conteúdo de informação, como números reais e intervalos reais, de tal forma que possam ser definidos modelos semânticos adequados para os processos computacionais envolvendo tais objetos. Esta representação construtiva é denominada de global, pois é realizada em dois níveis distinguíveis, compreendendo não somente a construção interna dos objetos, no contexto de uma da estrutura de informação, mas também sua estrutura externa de aplicação. A estrutura de informação tem caráter compatível com uma abordagem domínio-teorética, e a estrutura de aplicação e determinada pelo use pretendido do sistema representado. Existe um relacionamento entre os dois níveis de construção, garantindo que cada componente da estrutura de aplicação tenha uma representação interna na estrutura de informação. Os sistemas de representação global resultantes são denominados então espaços coerentes bi-estruturados, e tem a característica adicional de serem gerados por um sistema ordenado basico de universo enumerável. A estrutura de informação é um espaço coerente, com funções lineares e uma estrutura topológica de informação compatível. A estrutura de aplicação - algébrica, de ordem, relacional, funcional, de medidas, topológica, dentre outras - é obtida por um processo construtivo a partir da estrutura do sistema basico. Um espaço coerente bi-estruturado, obtido por esse processo de construção, é a representação global de um dado sistema ordenado de 2ª ordem quando possível recuperar este sistema através do subsistema dos objetos totais do espaço, pela determinação de isomorfismos para a estrutura de aplicação. Da mesma forma, estabelecendo também isomorfismos para o subsistema dos intervalos de elementos do conjunto universo do sistema que esta sendo representado, esse subsistema pode ser recuperado como o subsistema dos objetos quasi-totais do espaço coerente. Apresenta-se também uma abordagem categórica para o processo de construção global, mostrando se que ele determina uma adjunção entre duas subcategorias da categoria SO2 dos sistemas ordenados de 2ª ordem A metodologia proposta se mostrou particularmente interessante na construção do conjunto dos números reais e do conjunto de intervalos reais. Para estes sistemas introduziu-se também uma subestrutura elementar de medidas, pela definição, de forma generalizada, das funções valor absoluto, distância e diâmetro. Foi desenvolvida uma estrutura topológica para os espaços coerentes bi-estruturados, que caracteriza-se também por apresentar dois níveis que se inter-relacionam. Para obter uma caracterização topológica de informação desenvolveu-se a noção de espaços de vizinhanças lineares. No sentido de se obter a caracterização topológica de aplicação, obteve-se, em cada etapa da construção, um espaço de vizinhanças gerado pela função distância generalizada com uma topologia de aplicação associada. Conexões entre as representações de reais e de intervalos de reais e aspectos de computabilidade são referidas de modo preliminar, sugerindo-se este tema como trabalho futuro. Possíveis aplicações dos espaços coerentes bi-estruturados e do processo de construção global a outras áreas da Ciência da Computação são indicadas no final do trabalho.

The aim of this work is to develop a methodology to obtain constructive representations of second order ordered systems, based on coherence space structures, with the main application in Scientific Computation and Interval Mathematics. A global representation for the so-called infinite objects considering the information content they represent, in particularly real numbers and real intervals, is obtained, so that suitable semantical models for real and interval computational processes can be provided. This constructive representation is said to be global. since it is performed in two distinguished levels, dealing with the internal construction of the objects, in the context of an information structure, and, on the other hand, building an external application structure. The information structure is compatible with a domain-theoretic approach, and the application structure is established according the intended usage of the represented system. There exists a relationship between the two levels of the construction, guaranteeing that each component of the application structure should have an internal representation in the information structure. The resulting global representation systems are called bi-structured coherence spaces, and they have the additional feature of being generated by a basic ordered system having a denumerable universe. The information structure is a coherence space endowed with linear functions and a compatible information topological structure. The (algebraic, ordered, relational, functional, measure, topological, etc.) application structure is obtained by the construction process, considering the structure of the basic system as the start point. A bi-structured coherence space, obtained by this construction process, is said to be the global representation of a given second order ordered system if it is possible to recover the latter by the subsystem of the total objects of the former, defining isomorphisms related to the application structure. Following the same pattern, establishing isomorphisms for the subsystem of the intervals of elements of the represented system, it is possible to recover it as the subsystem of quasi-total objects of the bi-structured coherence space. A categorical approach is also presented and it is shown that the global construction process determines an adjunction between two subcategories of the category SO2 of the second order ordered systems. The proposed methodology was shown to be particularly interesting when constructing the sets of real numbers and real intervals. For these systems, an elementary measure structure was introduced in a generalised approach, defining generalised distance, diameter and absolute value functions. The bi-structured coherence spaces were given an interrelated two-level topological characterisation. In order to obtain an information topological characterisation the concept of linear neighbourhood systems was introduced. For the application topological characterisation, at each step of the construction, a neighbourhood system generated by the generalised distance function, with an associated topology, was defined. A brief analysis concerning the connections among other representations of real and real intervals and computability aspects is presented. Other possible applications in Computer Science are indicated.